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昨天分享了描述性統(tǒng)計量相關(guān)內(nèi)容，今天把昨天剩下的部分寫完，

昨天文章鏈接：

(資料圖)

??6.數(shù)據(jù)分析(1) --描述性統(tǒng)計量和線性回歸(1)??

前言：在針對非物理信號分析的時候，例如用戶數(shù)、用戶經(jīng)常出入的地點、疾病感染人數(shù)等，這部分涉及到數(shù)據(jù)分析知識，本文分享一下Matlab常用的描述性統(tǒng)計量函數(shù)和線性回歸的基本應(yīng)用。

1、線性回歸簡介

數(shù)據(jù)模型明確描述預(yù)測變量與響應(yīng)變量之間的關(guān)系。線性回歸擬合模型系數(shù)為線性的數(shù)據(jù)模型。最常見的線性回歸類型是最小二乘擬合，它可用于擬合線和多項式以及其他線性模型。

在對各對數(shù)量之間的關(guān)系進行建模之前，最好進行相關(guān)性分析，以確定這些數(shù)量之間是否存在線性關(guān)系。

如果需要使用非線性模型擬合數(shù)據(jù)，請轉(zhuǎn)換變量以使關(guān)系變成線性關(guān)系?；蛘邍L試使用nlinfit 函數(shù)、lsqcurvefit 函數(shù)直接擬合非線性函數(shù)。

2、簡單線性回歸

線性回歸對一個因變量（即響應(yīng)變量）y 與一個或多個自變量（即預(yù)測變量）x1,...,xn之間的關(guān)系進行建模。簡單線性回歸使用以下關(guān)系方程：

y=β0+β1x+?

其中，β0是 y 軸截距，β1是斜率（即回歸系數(shù)），?是誤差項。

首先確定一組（n 個）x 和 y 的觀測值，以(x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn)形式給出。對這些值應(yīng)用簡單線性回歸關(guān)系方程，構(gòu)成一個線性方程組。這些方程以矩陣形式表示如下：

假設(shè)

現(xiàn)在關(guān)系變?yōu)?Y=XB。

load x.matload y.matb1 = x\yb1 =1.372716735564871e-04

b1 是斜率或回歸系數(shù)。線性關(guān)系為 y=β1x=0.0001373x。

yCalc1 = b1*x;scatter(x,y)hold onplot(x,yCalc1)grid on

在模型中加入 y 軸截距β0以改進擬合，即y=β0+β1x。用一列 1 填補 x 并使用\運算符計算β0。

X = [ones(length(x),1) x];b = X\y

?此結(jié)果表示關(guān)系 y=β0+β1x=142.7120+0.0001256x。

yCalc2 = X*b;plot(x,yCalc2,"--")legend("原始數(shù)據(jù)","方法1","方法2","Location","best");

如圖所示，兩個擬合非常相似。判斷更佳擬合的一種方法是計算決定系數(shù) R2。R2 用于度量模型能夠在多大程度上預(yù)測數(shù)據(jù)，其值介于0和 1 之間。R2 的值越高，模型預(yù)測數(shù)據(jù)的準確性越高。

其中，?y表示y的計算值，￣y是y的均值，R2定義為

通過比較 R2 的值，找出兩個擬合中較好的一個。如 R2 值所示，包含 y 軸截距的第二個擬合更好。

Rsq1 = 1 - sum((y - yCalc1).^2)/sum((y - mean(y)).^2)Rsq2 = 1 - sum((y - yCalc2).^2)/sum((y - mean(y)).^2)Rsq1 =   0.822235650485566Rsq2 =   0.838210531103428

3、殘差與擬合優(yōu)度

殘差是響應(yīng)變量（因變量y）的觀測值與模型的預(yù)測值之間的差。當擬合的模型適合數(shù)據(jù)時，殘差接近獨立隨機誤差。即，殘差分布不應(yīng)該呈現(xiàn)出可辨識的模式。

利用線性模型產(chǎn)生擬合需要盡量減小殘差平方和。該最小化的結(jié)果即為最小二乘擬合。

擬合優(yōu)度的一個度量是決定系數(shù)或 R2。該統(tǒng)計量表明通過擬合模型得到的值與模型可預(yù)測的因變量的匹配程度。擬合模型的殘差方差定義 R2：

R2= 1 – SSresid/ SStotal

SSresid 是與回歸的殘差的平方和。SStotal 是與因變量均值的差的平方和（總平方和）。

3.1通過多項式擬合計算 R2

從多項式回歸的系數(shù)得出 R2，以確定線性模型對y的方差的解釋率，

利用 polyfit 計算從 x 預(yù)測 y 的線性回歸：

p = polyfit(x,y,1)p =1.5229 -2.1911

p(1)是斜率，p(2)是線性預(yù)測變量的截距。

調(diào)用 polyval 以使用 p 預(yù)測 y，調(diào)用結(jié)果 yfit：

yfit = polyval(p,x);

使用 polyval，在本例中擬合方程為：

yfit = p(1) * x + p(2);

將殘差值計算為有符號數(shù)的向量：

yresid = y - yfit;

計算殘差的平方并相加，以獲得殘差平方和：

SSresid = sum(yresid.^2);

通過將觀測次數(shù)減 1 再乘以 y 的方差，計算 y 的總平方和：

SStotal = (length(y)-1) * var(y);

計算 R2：

rsq = 1 - SSresid/SStotalrsq =0.8707

這表明，線性方程 1.5229 * x -2.1911 可預(yù)測變量 y 中方差的 87%。

3.2 計算多項式回歸的調(diào)整 R2

通?？赏ㄟ^擬合更高次多項式，減少模型中的殘差。當您添加更多項時，會增加決定系數(shù) R2。您可獲得更接近數(shù)據(jù)的擬合，但代價是模型更為復(fù)雜，此時需要對該統(tǒng)計量R2進行改進，調(diào)整 R2 中包括了一項對模型中項數(shù)的罰值。因此，調(diào)整 R2 更適合比較不同的模型對同一數(shù)據(jù)的擬合程度。調(diào)整 R2 定義如下：

R2adjusted= 1 - (SSresid/ SStotal)*((n-1)/(n-d-1))

其中 n 是數(shù)據(jù)中的觀測值數(shù)量，d 是多項式的次數(shù)。（線性擬合的階數(shù)為 1，二次擬合為 2，三次擬合為 3，依此類推。）

調(diào)用 polyfit 生成三次擬合，以從 x 預(yù)測 y：

p = polyfit(x,y,3)p =-0.0003 0.0390 0.2233 6.2779

p(4)是三次預(yù)測變量的截距。

調(diào)用 polyval 以使用 p 中的系數(shù)預(yù)測 y，將結(jié)果命名為 yfit：

yfit = polyval(p,x);

polyval 計算顯式方程，手動輸入則如下所示：

yfit = p(1) * x.^3 + p(2) * x.^2 + p(3) * x + p(4);

計算殘差值：

yresid = y - yfit;

計算殘差的平方并相加，以獲得殘差平方和：

SSresid = sum(yresid.^2);

通過將觀測次數(shù)減 1 再乘以 y 的方差，計算 y 的總平方和：

SStotal = (length(y)-1) * var(y);

計算三次擬合的簡單 R2：

rsq = 1 - SSresid/SStotalrsq =0.9083

最后，計算調(diào)整 R2 ：

rsq_adj = 1 - SSresid/SStotal * (length(y)-1)/(length(y)-length(p))rsq_adj =0.8945

調(diào)整 R2 (0.8945) 小于簡單 R2 (0.9083)。后者可以更可靠地估計多項式模型的預(yù)測能力。

在許多多項式回歸模型中，對方程添加次數(shù)會使 R2 和調(diào)整 R2 都增加。在上面的示例中，與線性擬合相比，使用三次擬合使這兩種統(tǒng)計量都有所增加。線性擬合并非始終差于更高階擬合：更復(fù)雜擬合的調(diào)整 R2 也有可能低于更簡單的擬合，此時表明增加復(fù)雜度并不適當。此外，雖然基本擬合工具生成的多項式回歸模型的 R2 值始終在 0 和 1 之間變動，但某些模型的調(diào)整 R2 可能為負值，這表明該模型的項太多。